摘要:
数学模式,也叫数学模型(Math.Model),是用数学表示式(通常是一些方程式、不等式或者一组程序)来描述被模拟的事物的结构。最简单的数学模式,完全是属于一般常识范围的东西,如数量(X)乘单位成本(C)等于总成本(T),即T=C.X。我们在日常工作和生活中,除了用这个模式计算总成本以外,还广泛用它来计算其他方面的许多类似问题。对于比较复杂的问题,就要用比较复杂一些的数学模式来解决。
比如,企业在采购材料时,总是要求选择最经济合算的采购批量,以降低材料成本。与材料采购批量大小有较大关系的费用有仓储费、储备资金利息、采购差旅费和材料检验费等。从仓储费和储备资金利息来考虑,采购批量越小,平均仓储量就越低,这两项费用就越小。从采购差旅费和材料检验费来考虑,采购批量越大,对降低材料成本越有利。现就仓储费和采购差旅费两项费用来进行分析:
假定:每次采购批量为X,仓库最低库存量为P,一批材料入库时库存量增至A,逐日领发,库存量由A降至B,同时又有一批材料入库。(如图一)
又假定:每月单位材料的仓储费...
数学模式,也叫数学模型(Math.Model),是用数学表示式(通常是一些方程式、不等式或者一组程序)来描述被模拟的事物的结构。最简单的数学模式,完全是属于一般常识范围的东西,如数量(X)乘单位成本(C)等于总成本(T),即T=C.X。我们在日常工作和生活中,除了用这个模式计算总成本以外,还广泛用它来计算其他方面的许多类似问题。对于比较复杂的问题,就要用比较复杂一些的数学模式来解决。
比如,企业在采购材料时,总是要求选择最经济合算的采购批量,以降低材料成本。与材料采购批量大小有较大关系的费用有仓储费、储备资金利息、采购差旅费和材料检验费等。从仓储费和储备资金利息来考虑,采购批量越小,平均仓储量就越低,这两项费用就越小。从采购差旅费和材料检验费来考虑,采购批量越大,对降低材料成本越有利。现就仓储费和采购差旅费两项费用来进行分析:
假定:每次采购批量为X,仓库最低库存量为P,一批材料入库时库存量增至A,逐日领发,库存量由A降至B,同时又有一批材料入库。(如图一)
又假定:每月单位材料的仓储费为r,领用量为n,每次采购差旅费为b,单位材料的仓储费和采购差旅费成本为y。
求解的方法有两种:一种方法是用微分法求解,即:
另一种方法是用绘制曲线图(如图二)找答案。曲线图的绘制步骤如下:
(1)根据有关数值编制下表:
(2)取OA=C,作AB∥X轴。
(3)作AC,因为AC是直线,不必将ax栏各数值都标在坐标上再连成直线,只要标出其中任意一点,与A点连接起来即可。
(4)将b/x栏各数值标在坐标上,并连成曲线如DE。
(5)将合计栏各数值标在坐标上,并连成曲线如FG。这条曲线的函数式就是Y=ax+b/x+c。
(6)从FG的最低点(一般是表上合计栏的数值最小)作一条垂线垂直于X轴,其交点就是我们所要求的答案所在,即X=2725。由于表上只列了部分测算点的数值,真正的最低点可能在比较最低的二个邻近点之间。因此,如有必要求得更精确的最低点,可以再计算2725的值并把它标在X轴上,同时修正曲线FG。
从图二来看:a=tga。随着批量的增加,AC越来越离开X轴,而DE则越来越靠近X轴。FG是两头高中间低。常数c只影响直线AC与曲线FG在y轴坐标上位置的高低,并不影响曲线FG的图形。它只与y的值有关,而与我们要求解的x值无关。这一点从x=2725也可以清楚地看出来。所以,在用微分公式求解时,只要从已有资料中算出a和b的值即可。在用绘制曲线图求解时,ax和c两栏数据是分开还是合并计算,可根据已有资料如何计算方便来决定(见后面二例)。
用微分法求解与用绘制曲线图求解,各有利弊,前者比较简单,但它只能求得一个最优的答案,而不能看到两个变量关系的整个趋势。这种方法适用于市场供应和仓储、运输等允许企业按照自己选择的时间和批量进行采购的情况。后者虽然比较复杂一些,但它不仅能找到近似的最优答案,而且还可以看出整个趋势。在客观条件不允许企业按照自己选择的时间和批量进行采购时,绘制曲线图便于企业灵活掌握。
现举例说明如下:
某企业每月耗用某化工原料2,000吨,存放外栈的仓储费为每吨每月4元,最低库存量定为500吨,每次采购的差旅费约为1,000元,求最优的采购批量?
解:①用微分法求解:
27
25元/吨(即
采购批量每增加1吨,每吨原料的仓储费成本就要增加1厘)
b=1,000元
27
25即每次采购1,000吨最合算,也就是说,每次采购1,000吨原料的平均仓储费和采购差旅费成本最低。如要知道这个最低成本的金额,可先求出c,再求出y的值。
y=ax+2725+C=1,000×0.001+2725+1=3元/吨 即每吨原料的仓储费和采购差旅费成本为3元。
②用绘制曲线图求解:
上述数学模式,通常称为存储模式或经济批量模式,但实际应用远不止于存储范围。不少涉及两个变量关系的经济问题,只要两个变量之间的关系是这种函数关系,都可以利用这个模式来求解。
例如某企业某化工产品系不按定额投料。正常情况下,在日产量不超过100吨的水平时,原料的单耗为50公斤;如果增加投料量,产量可以增加,但原料单耗也随之上升。据统计,产量每增加10%,单耗就要上升8%。其他费用都是固定费用,基本上不受产量变动的影响。日产量为100吨时,每吨成本为140元,其中原料成本为50元(即每公斤1元)。求日产量安排在什么水平上产品的单位成本最低?
解:①用微分法求解:
28
26(即日产量每增加1吨,每吨产品的原料成本增加0.4元)
b=(140元-50元)×100=9,000元
28
26即日产量安排在150吨时产品的单位成本最低。
此例不必先求出c再计算y(产品单位成本),只要分别计算出每吨产品的原料成本和固定费用成本,二者相加即可。即y=50元(1+2826×8%)+2826=70元+60元=130元。
从图四来看,A是日产量100吨时单位产品原料成本(50元),B是日产量增至150吨时单位产品原料成本(70元)。这里显然没有必要把ax和c分开计列,如果为了分析原料成本与产量的变量关系,需要求出c的值,只要延长直线BA,使之与Y轴相交于D,OD就等于C(即10元)。日产量100吨时,ax+c=100×0.4++10=50元。日产量150吨时,ax+c=150×0.4+10=70元,……。
其他如选择最合理的销售批量和设备更新期,以及某些情况下最合理的原料配比、工艺条件和生产时间等,都可用这个数学模式来求解。